Сторона ромба равна \(\displaystyle 6{\small,}\) а площадь ромба составляет \(\displaystyle 18{\small.}\) Найдите угол между большей диагональю и стороной ромба. Ответ дайте в градусах.
Пусть \(\displaystyle \alpha =\angle BAD\) – острый угол между сторонами ромба.
Известно, что
Требуется найти \(\displaystyle \angle CAB{\small.}\)
Воспользуемся формулой для вычисления площади ромба
\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha {\small,}\)
где \(\displaystyle a\) – сторона ромба, \(\displaystyle \alpha \) – угол между его сторонами.
В данном случае \(\displaystyle a=6 {\small,}\, \,S_{ромб} = 18 {\small : } \)
\(\displaystyle 18 = {6}^2 \cdot \sin \alpha {\small ,}\)
\(\displaystyle 18 = 36 \cdot \sin \alpha {\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \sin \alpha =\frac{18}{36}{\small ,}\)
\(\displaystyle \sin \alpha =\frac{1}{2}{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle \alpha \) – острый угол, то \(\displaystyle \alpha =30^{\circ} .\)
Поскольку диагональ ромба является биссектрисой, то \(\displaystyle \angle CAB = \angle CAD = 15^{\circ}.\)
Тогда угол между большей диагональю и стороной ромба составляет \(\displaystyle 15^\circ .\)
Ответ: \(\displaystyle 15{\small .}\)