В равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\) боковые стороны равны меньшему основанию \(\displaystyle BC\small,\) \(\displaystyle BD=12\sqrt{3}\small,\) \(\displaystyle \angle BDC=30^\circ\small.\) Найдите расстояние от точки \(\displaystyle B\) до прямой \(\displaystyle AC\small.\)
Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BCD\small.\) Они равны по двум сторонам и углу между ними:
Значит, \(\displaystyle AC=BD=12\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \angle BAC=\angle BDC=30^{\circ}\small.\) |  |
Пусть \(\displaystyle H\) – основание перпендикуляра, опущенного из точки \(\displaystyle B\) на прямую \(\displaystyle AC\small.\) Длина отрезка \(\displaystyle BH\) равна расстоянию от точки \(\displaystyle B\) до прямой \(\displaystyle AC\small. \) В равнобедренном треугольнике \(\displaystyle ABC\) высота \(\displaystyle BH\) является и медианой, \(\displaystyle AH=\frac{AC}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\small.\) |  |
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABH\small.\) Пусть \(\displaystyle BH=x\small.\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ}\small,\) равен половине гипотенузы. Значит, \(\displaystyle AB=2x\small.\) По теореме Пифагора \(\displaystyle AB^2=AH^2+HB^2\small.\) |  |
Тогда
\(\displaystyle (2x)^2=({6\sqrt{3}})^2+x^2\small,\)
\(\displaystyle 4x^2=108+x^2\small,\)
\(\displaystyle 3x^2=108\small,\)
\(\displaystyle x^2=36\small.\)
Поскольку длина отрезка положительна, то
\(\displaystyle x=\sqrt{{36}}={6}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 6{\small \small.}\)